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Die Differentialgleichung der gedämpften elektromagnetischen Schwingung

Description:  Werden die Widerstände der Leiterbahnen vernachlässigt ``idealer Schwingkreis``, bleibt die Summe der Beträge beider Spannungen auf Grund des Energieerhaltungssatzes konstant.
deutsch
  
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Die Differentialgleichung der gedämpften elektromagnetischen Schwingung



Ansatz:

Werden die Widerstände der Leiterbahnen vernachlässigt (“idealer Schwingkreis”), bleibt die Summe der Beträge beider Spannungen auf Grund des Energieerhaltungssatzes konstant.



(Bild: idealer Schwingkreis)

= - + = 0

Ebenfalls aus dem Energieerhaltungsatz erhält man den Ansatz für die Differentialgleichung der gedämpften elektromagnetischen Schwingung:

Ersatzschaltbild für den realen Schwingkreis (R):

(Bild: realer Schwingkreis)

+ = -
+ + = 0 (Gleichung 1a)
Aus folgt für : = (Gleichung 1b)
Aus folgt für : (Gleichung 1c)
Aus dem Induktionsgesetz geht hervor: = (Gleichung 1d)
Durch Einsetzen der [Gleichungen 1b, 1c, 1d] in die [Gleichung 1a] erhält man die Gleichung :
(Gleichung 2a)

Da für gilt : bzw. , folgt für die Differentialgleichung:
(Gleichung 2b)
Jede gedämpfte harmonische Schwingung läßt sich durch eine Gleichung der Form beschreiben.
Da in diesem Fall elektrische Ladungen schwingen, ergibt sich daraus der Lösungsansatz für die Differentialgleichung:




Ziel: und sollen durch gegebene Werte (und ) berechnet werden können.

  
Numerische Mathematik: Eine algorithmisch orientierte Einführung: [Band] 1 (de Gruyter Lehrbuch)
von Peter Deuflhard,
Andreas Hohmann
Siehe auch:
Numerische Mathematik: Eine beispielorientierte …
Analysis 1: Differential- und Integralrechnung …
Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler …
Numerische Mathematik: Gewöhnliche …
Numerische Mathematik: Adaptive Lösung partieller Differentialgleichungen: …
Stoer / Bulirsch: Numerische Mathematik 1 …
 
   
 
     
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